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第1章 引论1

1.1数值计算方法的对象、特点和意义1

1.2误差分析2

1.3数值计算中应注意的问题6

习题110

第2章MATLAB在数值计算中的应用11

2.1 MATLAB语言基础知识11

2.1.1 MATLAB文件类型11

2.1.2 MATLAB的矩阵、变量与表达式12

2.2基本绘图方法13

2.2.1直角坐标中的二维曲线13

2.3 MATLAB基本运算16

2.3.1关系运算17

2.3.2 逻辑运算17

2.3.3特殊运算符17

2.3.4矩阵运算18

2.4 MATLAB控制语句18

2.5自定义函数20

2.6数值计算中的常用库函数20

2.6.1向量与矩阵常用库函数20

2.6.2插值函数21

2.6.3多项式计算23

2.6.4曲线拟合24

2.6.5数值微分与差分diff25

2.6.6数值积分函数quad和quad826

2.6.7常微分方程求解函数ode23和ode4526

2.6.8非线性方程求解函数28

第3章 插值与逼近30

3.1问题背景：人口增长问题30

3.2拉格朗日插值（Lagrange interpolation）31

3.2.1线性插值31

3.2.2抛物插值（也称二次插值）32

3.2.3 n次插值33

3.2.4插值余项34

3.3牛顿插值（Newton interpolation）37

3.3.1具有继承性的插值公式38

3.3.2差商及其性质39

3.3.3差商形式的插值公式40

3.3.4 差分形式的插值公式41

3.4埃尔米特插值（Hermite interpolation）43

3.4.1二次插值43

3.4.2三次插值44

3.4.3 2n + 1次插值45

3.4.4 Hermite插值余项定理47

3.5三次样条插值50

3.5.1样条函数的概念50

3.5.2三次样条插值51

3.5.3三次样条插值函数的求法52

3.6曲线拟合的最小二乘法59

3.6.1直线拟合59

3.6.2多项式拟合62

3.7多项式曲线拟合的递归最小二乘法64

习题368

第4章 数值积分与数值微分70

4.1问题背景：PID调节器70

4.1.1 PID控制规律（比例、积分、微分）的基本形式70

4.1.2 PID控制规律的物理意义71

4.2机械求积72

4.2.1数值积分的基本思想72

4.2.2求积公式和它的代数精度73

4.2.3插值型的求积公式74

4.3牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）求积公式76

4.3.1公式的推导76

4.3.2 n低阶求积公式的代数精度77

4.4龙贝格（Romberg）算法80

4.4.1梯形法的递推公式81

4.4.2算法步骤81

4.4.3 MATLAB源程序82

4.4.4龙贝格算法84

4.5高斯（Gauss）求积算法88

4.5.1高精度的求积公式88

4.5.2高斯公式的基本特点90

4.5.3勒让德多项式91

4.5.4高斯求积公式的余项95

4.5.5高斯求积公式的稳定性与收敛性96

4.6数值积分的神经网络算法97

4.6.1余弦基函数神经网络模型97

4.6.2数值积分实例98

4.7数值微分101

4.7.1用插值多项式求数值微分101

4.7.2二阶数值微分公式104

4.7.3用三次样条函数求数值微分104

习题4105

第5章 非线性方程的数值解法110

5.1问题背景：人口增长问题110

5.2二分法（The Bisection Method）112

5.2.1二分法基本思想112

5.2.2二分法算法的源程序（bisection.m）114

5.2.3总结114

5.3迭代法115

5.3.1迭代法的基本思路116

5.3.2线性迭代函数的启示117

5.3.3压缩映像原理117

5.3.4定点迭代法源程序（fixedp.m）118

5.3.5迭代过程的收敛速度120

5.4迭代过程的加速收敛方法121

5.4.1迭代公式的加工121

5.4.2埃特金算法123

5.4.3埃特金加速算法的源程序（aitken.m）123

5.5牛顿迭代法124

5.5.1牛顿迭代公式的导出124

5.5.2牛顿法的收敛性125

5.5.3牛顿迭代法源程序（newtoniter.m）126

5.5.4牛顿下山法127

5.6弦截法128

5.6.1弦截法128

5.6.2弦截法的收敛性129

5.7求解非线性方程的神经网络算法131

5.7.1求解一元非线性方程的神经网络算法132

5.7.2神经网络算法收敛性研究132

5.7.3神经网络算法步骤134

5.7.4算例134

5.7.5算法改进135

5.8求解非线性方程组的神经网络算法139

5.8.1求解非线性方程组的神经网络模型139

5.8.2神经网络算法收敛性研究141

5.8.3神经网络算法步骤142

5.8.4数值试验143

5.9求解非线性方程的其他算法148

5.10求解非线性方程或代数方程重根的方法149

5.10.1算法描述149

5.10.2数值实例150

习题5152

第6章 线性方程组的数值解法154

6.1问题背景：电阻网络154

6.1.1直接法155

6.1.2迭代法155

6.2高斯（Gauss）消元法156

6.2.1高斯消去法的计算过程156

6.2.2高斯消去法应注意的问题157

6.3三角分解法158

6.3.1矩阵A=[aijn×n的Crout分解159

6.3.2矩阵A=[aij]n×n的Cholesky分解（LL T分解）163

6.3.3解三对角线性方程组的三对角算法（追赶法）166

6.4向量和矩阵的范数167

6.4.1向量的范数167

6.4.2向量范数的定义167

6.4.3矩阵的范数169

6.4.4谱半径、谱范数与方阵的F-范数170

6.4.5方程组的状态与条件数170

6.4.6向量、矩阵的范数和条件数的计算174

6.5矩阵特征值和特征向量175

6.5.1雅可比（Jacobi）方法176

6.5.2 Q R方法177

6.5.3计算矩阵特征值和特征向量的库函数177

6.5.4计算矩阵行列式值的库函数：det（·）177

6.6迭代法178

6.6.1雅可比（Jacobi）迭代法178

6.6.2赛德尔迭代法180

6.6.3关于Jacobi迭代法与G-S迭代法收敛性判据181

6.6.4逐次超松弛迭代法（SOR法）182

6.7共轭斜量（梯度）法184

6.7.1改善矩阵A条件数的方法185

6.7.2条件预优共轭梯度算法186

6.7.3残差校正方法188

6.8基于梯度下降法的神经网络算法189

6.8.1基于梯度下降法（Gradient-descent method）的神经网络算法（NN-GDM）189

6.8.2应用实例193

6.9基于递推最小二乘算法的神经网络计算方法（NN-RLS）199

习题6204

第7章 常微分方程的初值问题的数值解法206

7.1问题背景：RLC电路网络206

7.2欧拉方法207

7.3改进的欧拉方法210

7.3.1梯形公式210

7.3.2改进的欧拉公式211

7.4高阶泰勒方法（Higher-order Taylor Methods）213

7.5龙格-库塔方法（Runge-Kutta Methods）216

7.5.1龙格-库塔方法的设计思想217

7.5.2二阶龙格-库塔方法217

7.5.3三阶龙格-库塔方法219

7.5.4四阶龙格-库塔方法219

7.6亚当斯方法（Adams Method）221

7.6.1亚当斯格式221

7.6.2亚当斯预报-校正系统223

7.6.3亚当斯预报-校正系统误差分析224

7.7收敛性与稳定性226

7.7.1收敛性问题226

7.7.2单步法的收敛性226

7.7.3单步法的稳定性问题228

7.8一阶常微分方程组和高阶微分方程求解228

7.8.1一阶方程组228

7.8.2高阶常微分方程的初值问题229

7.9高阶微分方程边值问题求解231

7.10求解常微分方程初值问题的神经网络算法232

7.10.1解微分方程初值问题的神经网络算法描述232

7.10.2解微分方程初值问题的神经网络算法步骤239

7.10.3仿真实例240

习题7248

习题答案250

参考文献254