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第1章 笛卡儿的发现1

1.1 二维平面中的局部坐标和整体坐标2

1.2 从整体到局部的转化5

1.3 三维空间中的局部坐标与整体坐标6

1.4 单位框外一点坐标的转换7

1.5 应用：创建坐标8

1.6 习题9

第2章 无处不在：二维平面中的点和向量11

2.1 点和向量11

2.2 点和向量的区别13

2.3 向量场15

2.4 向量的长度16

2.5 点的组合18

2.6 线性无关20

2.7 点积21

2.8 正交投影24

2.9 不等式24

2.10 习题26

第3章 排列起来：二维平面上的直线28

3.1 定义一条直线28

3.2 直线的参数方程29

3.3 直线的隐式方程30

3.4 直线的显式方程33

3.5 参数方程与隐式方程的互化33

3.5.1 参数式方程到隐式方程33

3.5.2 隐式方程到参数式方程34

3.6 点到线的距离35

3.6.1 从隐式直线方程开始35

3.6.2 从参数式直线方程开始37

3.7 点在直线上的投影38

3.8 相交位置：计算交点39

3.8.1 参数式方程和隐式方程39

3.8.2 两个参数式方程41

3.8.3 两个隐式方程42

3.9 习题43

第4章 形状变化：二维平面中的线性映射45

4.1 倾斜目标框45

4.2 矩阵形式46

4.3 线性空间48

4.4 缩放50

4.5 反射52

4.6 旋转53

4.7 切变55

4.8 投影56

4.9 面积和线性映射：行列式59

4.10 构造线性映射61

4.11 矩阵乘法的更多性质63

4.12 矩阵的运算规则65

4.13 习题66

第5章 2×2线性方程组68

5.1 倾斜目标框的再现68

5.2 矩阵形式69

5.3 一个直接的方法：克莱姆法则70

5.4 高斯消元法71

5.5 绕轴旋转72

5.6 无解线性方程组74

5.7 欠定方程组74

5.8 齐次线性方程组75

5.9 抵消映射：逆矩阵76

5.10 定义一个映射81

5.11 二元视图82

5.12 习题83

第6章 在周围移动：二维平面上的仿射映射85

6.1 坐标变换85

6.2 仿射映射和线性映射87

6.3 平移88

6.4 更多常见的仿射映射88

6.5 从三角形映射到三角形90

6.6 仿射映射的复合91

6.7 习题94

第7章 特征96

7.1 固定方向97

7.2 特征值97

7.3 特征向量99

7.4 扩大普遍性101

7.5 对称矩阵的几何图形102

7.6 二次型105

7.7 重复映射108

7.8 习题109

第8章 三维空间中的几何111

8.1 从二维到三维111

8.2 向量积113

8.3 直线116

8.4 平面117

8.5 混合积120

8.6 应用：光和影121

8.7 习题124

第9章 三维空间中的线性映射125

9.1 矩阵和线性映射125

9.2 线性空间127

9.3 图形缩放128

9.4 图形反射129

9.5 图形切变130

9.6 图形旋转132

9.7 图形投影135

9.8 体积与线性映射：行列式137

9.9 线性映射的组合139

9.10 逆矩阵141

9.11 矩阵性质的拓展142

9.12 习题143

第10章 三维空间中的仿射映射147

10.1 仿射映射147

10.2 平移148

10.3 四面体的映射149

10.4 平行投影151

10.5 齐次坐标和透视投影155

10.6 习题158

第11章 三维空间中的相交160

11.1 点与平面的距离160

11.2 两直线间的距离162

11.3 直线与平面相交163

11.4 直线与三角形相交165

11.5 反射165

11.6 三个平面相交166

11.7 两个平面相交168

11.8 建立标准正交坐标系169

11.9 习题171

第12章 高斯消元法解线性方程组173

12.1 问题的引入173

12.2 高斯消元求解法176

12.3 齐次线性方程组182

12.4 逆矩阵183

12.5 矩阵的LU分解186

12.6 行列式189

12.7 最小二乘法191

12.8 应用：股骨头的数据拟合193

12.9 习题195

第13章 方程组的替代算法198

13.1 豪斯霍尔德算法198

13.2 向量的范数204

13.3 矩阵的范数206

13.4 条件数208

13.5 向量的序列209

13.6 线性方程组的迭代解法：高斯-雅可比法和高斯-赛德尔法210

13.7 习题213

第14章 一般线性空间215

14.1 线性空间的基本性质215

14.2 线性映射217

14.3 内积220

14.4 格拉姆-施密特标准正交化222

14.5 空间一览224

14.6 习题225

第15章 特征问题的再讨论228

15.1 基础知识再讨论228

15.2 幂法234

15.3 应用：谷歌特征向量236

15.4 特征函数238

15.5 习题239

第16章 奇异值分解241

16.1 2×2情形下的儿何结构241

16.2 一般情形244

16.3 SVD步骤247

16.4 奇异值和体积248

16.5 广义逆248

16.6 最小二乘249

16.7 应用：图像压缩252

16.8 主成分分析252

16.9 习题255

第17章 分解：三角形258

17.1 质心坐标258

17.2 仿射不变性260

17.3 一些特殊点261

17.4 二维平面三角剖分263

17.5 数据结构264

17.6 应用：点的位置266

17.7 三维空间三角剖分266

17.8 习题267

第18章 直线组合：折线和多边形269

18.1 折线269

18.2 多边形270

18.3 凸性271

18.4 多边形的种类272

18.5 特殊的多边形273

18.6 转向角和回转数274

18.7 面积275

18.8 应用：共面问题278

18.9 应用：点在平面内还是在平面外279

18.9.1 奇偶规则279

18.9.2 非零回转数规则280

18.10 习题281

第19章 圆锥曲线283

19.1 一般圆锥曲线283

19.2 圆锥曲线的分析287

19.3 标准位置的一般曲线288

19.4 习题290

第20章 曲线291

20.1 参数曲线291

20.2 贝塞尔曲线的性质294

20.3 矩阵形式295

20.4 导数296

20.5 复合曲线298

20.6 平面曲线的几何298

20.7 沿着曲线移动300

20.8 习题302

附录303

附录A 词汇表303

附录B 部分习题参考答案309

参考文献342